Giải tích Ví dụ

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Bước 1.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x (2 x^{2} + y^{2})$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 1.4

Vì $2 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Bước 1.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Bước 2.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $y (x^{2} + 2 y^{2})$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Bước 2.5

Vì $2 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Bước 2.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Bước 2.6.3

Sắp xếp lại các thừa số của $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 x y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x y = 2 x y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Bước 5.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Bước 5.1.3

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Bước 5.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Bước 5.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Bước 5.1.6

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Bước 5.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Bước 5.5

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Bước 5.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.7

Rút gọn.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8.3

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Bước 5.8.4

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Bước 5.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.2.2

Vì $\frac{1}{2} x^{4}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.3

Vì $\frac{x^{2}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ đối với $y$ là $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.6

Kết hợp $\frac{2 x^{2}}{2}$ và $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.3.7.2

Chia $x^{2} y$ cho $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Cộng $0$ và $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết lại.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 9.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 9.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Bước 9.1.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Bước 9.1.1.5

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.5.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Bước 9.1.1.5.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.5.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Bước 9.1.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Bước 9.1.1.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x^{2} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Bước 9.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $y x^{2}$ và $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Bước 9.1.2.2.2

Trừ $x^{2} y$ khỏi $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Bước 9.1.2.2.3

Cộng $2 y^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 y^{3}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Bước 10.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Bước 10.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Bước 10.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$