Giải tích Ví dụ

$(3 x^{2} + 7 y^{2}) d x + 14 x (y d) y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 3 x^{2} + 7 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 7 y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 7 y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Bước 1.2.2

Vì $3 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $7 y^{2}$ đối với $y$ là $7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 (2 y)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 14 y$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $14 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 14 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 14 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [14 x y]$

Bước 2.2

Vì $14 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x y$ đối với $x$ là $14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $14$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $14 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $14 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$14 y = 14 y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$14 y = 14 y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 14 x y d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = 14 x y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $14 x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $14 x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 14 x \int y d y$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 5.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Kết hợp $14$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{14}{2} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 14}{2} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.3

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.4

Nhân $14$ với $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 x}{2} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{7 x}{1} y^{2} + C$

Bước 5.3.2.5.2.4

Chia $7 x$ cho $1$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $7 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x y^{2}$ đối với $x$ là $7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8.3.3

Nhân $7$ với $1$ .

$7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 7 y^{2} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $7 y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $7 y^{2}$ khỏi $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $3 x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Bước 10.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Bước 10.5.2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + x^{3} + C$