Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Bước 6.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Bước 6.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ ở dạng ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Bước 6.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Bước 6.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Bước 6.3.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Bước 6.3.2.1.3

Cộng $0$ và $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Bước 6.3.2.1.4

Rút gọn.

$K = 2^{3}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$K = 8$

Bước 7

Thay $8$ cho $K$ trong $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $8$ bằng $K$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Bước 7.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Bước 7.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Bước 7.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$