Giải tích Ví dụ

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Trừ $v$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Bước 2.1.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \frac{d v}{d x} = - v$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \frac{d v}{d x} = - v$ cho $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Bước 2.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d v}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Bước 2.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{v}$ vào tử số.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Bước 2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Bước 2.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Bước 4

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Bước 4.2

Viết lại $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Bước 4.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Bước 4.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Bước 4.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ ở dạng $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{x}{4}}$ và $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Bước 7

Viết lại phương trình.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Bước 8

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Bước 8.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $C_{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Bước 8.3.2

Giả sử $u = - \frac{x}{4}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{4} d x$ , nên $- 4 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Hãy đặt $u = - \frac{x}{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Bước 8.3.2.1.2

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 8.3.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Bước 8.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Bước 8.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Bước 8.3.3.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Bước 8.3.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Bước 8.3.3.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Bước 8.3.4

Vì $- 4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Bước 8.3.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Bước 8.3.6

Rút gọn.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Bước 8.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Bước 8.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Bước 8.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Bước 8.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$