Giải tích Ví dụ

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + 4 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.4

Vì $4 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $2 y x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 x y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = 2 x y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $2 x y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $x^{2} y + 4 y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x^{2} y + 4 y$ bằng $N$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $2 x y$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Bước 4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Bước 4.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Bước 5.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Bước 5.4

Giả sử $u = x^{2} + 4$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 5.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 5.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 5.4.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 5.4.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 5.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 5.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 5.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Bước 5.9

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Bước 5.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Bước 5.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Rút gọn $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Bước 5.11.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Bước 5.11.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x$ với $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Bước 6.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x^{2} y + 4 y$ với $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x^{2} y + 4 y$ với $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Bước 6.5

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Bước 6.5.2

Đưa $y$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Bước 6.5.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Bước 6.6.2

Chia $y$ cho $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 11.3

Vì $\frac{1}{2} y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\frac{x}{x^{2} + 4}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Bước 12.3

Giả sử $u = x^{2} + 4$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 12.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 12.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 12.3.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 12.3.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 12.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 12.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 12.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Bước 12.4.3

Nhân $2$ với $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 12.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 12.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 12.7

Rút gọn.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 12.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Bước 13

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Bước 14

Rút gọn $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Bước 14.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 14.2

Để viết $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 14.3

Kết hợp $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Nhân $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1.1

Sắp xếp lại $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ và $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Bước 14.5.1.2

Rút gọn $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Bước 14.5.2

Nhân các số mũ trong ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Bước 14.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Bước 14.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Bước 14.5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$