Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 6 x y = 12 x$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 6 x d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$e^{6 \int x d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{6}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{3}{1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$e^{3 x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{3 x^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{3 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{3 x^{2}} (6 x y) = e^{3 x^{2}} (12 x)$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = e^{3 x^{2}} (12 x)$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = 12 e^{3 x^{2}} x$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = 12 e^{3 x^{2}} x$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 x y e^{3 x^{2}} = 12 x e^{3 x^{2}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}} y] = 12 x e^{3 x^{2}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}} y] d x = \int 12 x e^{3 x^{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{3 x^{2}} y = \int 12 x e^{3 x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 x^{2}} y = 12 \int x e^{3 x^{2}} d x$

Bước 6.2

Giả sử $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 6 x e^{3 x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Bước 6.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 6.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 6.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x^{2}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{3 x^{2}} (3 (2 x))$

Bước 6.2.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$e^{3 x^{2}} (6 x)$

Bước 6.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{3 x^{2}} (6 x)$ .

$6 e^{3 x^{2}} x$

Bước 6.2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 e^{3 x^{2}} x$ .

$6 x e^{3 x^{2}}$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{3 x^{2}} y = 12 \int \frac{1}{6} d u_{2}$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{3 x^{2}} y = 12 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$

Bước 6.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $12 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$ ở dạng $12 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$ .

$e^{3 x^{2}} y = 12 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$

Bước 6.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{6}$ .

$e^{3 x^{2}} y = \frac{12}{6} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$e^{3 x^{2}} y = \frac{6 \cdot 2}{6} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$e^{3 x^{2}} y = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{3 x^{2}} y = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{3 x^{2}} y = \frac{2}{1} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$e^{3 x^{2}} y = 2 u_{2} + C$

Bước 6.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} y = 2 e^{3 x^{2}} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x^{2}} y = 2 e^{3 x^{2}} + C$ cho $e^{3 x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x^{2}} y = 2 e^{3 x^{2}} + C$ cho $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{e^{3 x^{2}} y}{e^{3 x^{2}}} = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{3 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{3 x^{2}} y}{e^{3 x^{2}}} = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{3 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$y = 2 + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$