Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $1 + y$ ra ngoài $\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = 1 + y$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = 1 + y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Bước 2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

Bước 3.5.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

Bước 3.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x + C} | x |$ .

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

Bước 3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

Bước 3.5.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm | x | e^{x + C}$ .

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

Bước 3.5.4.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{x + C}$ ở dạng $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{x} | x | - 1$