Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 5 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 8 + x^{3}$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 8 + x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.2.1.3

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $0$ và $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 5 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 2.3.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $5$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $\frac{5}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{5}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Nhân $5$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{10}{3} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$