Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 8 x^{2}$ . Sau đó $d u = 16 x d x$ , nên $\frac{1}{16} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 8 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $2$ với $8$ .

$16 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $8$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $8$ với $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

Bước 4.2.1.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

Bước 4.2.1.1.4

Nhân $\frac{1}{16}$ với $0$ .

$0 + K = 8$

Bước 4.2.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 8$

Bước 5

Thay $8$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $8$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$