Giải tích Ví dụ

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{4} + 2 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y^{3}$ đối với $x$ là $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.3

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.4

Vì $2 y^{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y^{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Bước 2.5.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Bước 2.6

Cộng $y^{3}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $4 y^{3} + 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $y^{3} - 4$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $y^{3} - 4$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $4 y^{3} + 2$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Bước 4.3

Thay $y^{4} + 2 y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $y^{4} + 2 y$ bằng $M$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $4 y^{3}$ khỏi $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.5

Trừ $2$ khỏi $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.6

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 y^{3} - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.2.6.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Bước 4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4} + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- y^{3} - 2$ và $y^{3} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Bước 4.3.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Bước 4.3.4.4

Viết lại $- (y^{3} + 2)$ ở dạng $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Bước 4.3.4.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Bước 4.3.4.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Bước 4.3.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Bước 4.3.6

Thay $y^{4} + 2 y$ bằng $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $- 3 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 3$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Bước 5.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Bước 5.6.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y^{4} + 2 y$ với $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $y^{4} + 2 y$ với $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4} + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ với $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ với $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ và $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Bước 8.2.2

Viết lại $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ ở dạng $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = y^{3} x + 2 x$ và $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} x + 2 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.3

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{3} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.5

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.8

Cộng $3 x y^{2}$ và $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.9

Nhân $y^{2}$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.9.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.9.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.10

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.12

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.12.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.13

Đưa $y$ ra ngoài $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.13.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.13.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.13.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.14.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.3.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5.2.2

Trừ $2 y^{3} x$ khỏi $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5.2.3

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5.2.4

Để viết $\frac{d g}{d y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 11.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Bước 12.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $y^{3} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Bước 12.1.2.2

Cộng $4 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Bước 12.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x y^{3}$ và $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Bước 12.1.2.3.2

Trừ $y^{3} x$ khỏi $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Bước 12.1.2.3.3

Cộng $2 y^{4} - 4 x$ và $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Bước 12.1.2.3.4

Cộng $- 4 x$ và $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Bước 12.1.2.3.5

Cộng $2 y^{4}$ và $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Bước 12.1.3

Chia mỗi số hạng trong $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ cho $y^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ cho $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Bước 12.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Bước 12.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d g}{d y}$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Bước 12.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{4}$ và $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.3.1.1

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Bước 12.1.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Bước 12.1.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Bước 12.1.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Bước 12.1.3.3.1.2.4

Chia $2 y$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $2 y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Bước 13.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 \int y d y$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Bước 13.5.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $x$ ra ngoài $y^{3} x + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Bước 15.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Bước 15.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Bước 15.2

Để viết $y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Bước 15.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Bước 15.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Bước 15.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Bước 15.4.3

Nhân $y^{2}$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Bước 15.4.3.2

Cộng $2$ và $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$