Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ trong đó $f (2 π) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \sin (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \cos (x) + C}$ ở dạng $e^{- \cos (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \cos (x)}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \cos (x)}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $2 π$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = C e^{- \cos (x)}$ .

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ .

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$C e^{- \cos (0)} = 1$

Bước 6.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

Bước 6.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{- 1} = 1$ cho $e^{- 1}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{- 1} = 1$ cho $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Bước 6.3.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Di chuyển $e^{- 1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Bước 7

Thay $e$ cho $C$ trong $y = C e^{- \cos (x)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $e$ bằng $C$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

Bước 7.2

Nhân $e$ với $e^{- \cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

Bước 7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = e^{1 - \cos (x)}$