Giải tích Ví dụ

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Bước 2.3.2

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $- 16$ cho $f$ trong $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

Bước 4.2

Rút gọn $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $0$ với $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Bước 4.2.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 5$ với $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

Bước 4.2.2

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$- 5 + K = - 16$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = - 16 + 5$

Bước 4.3.2

Cộng $- 16$ và $5$ .

$K = - 11$

Bước 5

Thay $- 11$ cho $K$ trong $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 11$ bằng $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

Bước 5.2.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$