Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Bước 1

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Bước 2

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 3

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 4

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Bước 5

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Bước 5.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + 2 - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Bước 5.1.1.1.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Bước 5.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = 2$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = 2$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Bước 5.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Bước 5.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Bước 5.1.2

Viết lại phương trình.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Bước 5.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Bước 5.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 5.2.3.3

Rút gọn.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 5.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Bước 6

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Bước 7

Giải $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Bước 7.2.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Bước 7.2.2.1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 7.2.2.1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Bước 7.2.2.1.2.2.2

Sắp xếp lại $x \ln (x^{2})$ và $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$