Giải tích Ví dụ

$(2 x + x^{3} + 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x + x^{3} + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x^{3} + 3 y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + x^{3} + 3 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Bước 1.2.3

Vì $x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3$

Bước 1.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Bước 1.4.2

Cộng $0$ và $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 2 y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = 3$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$3 = 3$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x + 2 y d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = 3 x + 2 y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 3 x d y + \int 2 y d y$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 3 x y + C + \int 2 y d y$

Bước 5.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 \int y d y$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = 3 x y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 5.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 5.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 3 x y + 1 y^{2} + C$

Bước 5.6.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} + g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y + y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.4

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$3 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $3 y$ và $0$ .

$3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 2 x + x^{3} + 3 y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $3 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $3 y$ khỏi $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $2 x + x^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 x + x^{3}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + x^{3} d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + x^{3} d x$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int 2 x d x + \int x^{3} d x$

Bước 10.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x d x + \int x^{3} d x$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{3} d x$

Bước 10.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 10.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (x) = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$