Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $y = e^{r x}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Bước 2.4

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Bước 2.4.2

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Bước 2.4.3

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Bước 2.5

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Bước 3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Bước 3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 e^{- x} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Bước 3.3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Bước 3.3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Bước 3.3.2

Viết lại $4 (e^{- x} + 1)$ ở dạng $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Bước 3.3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Bước 3.3.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Bước 3.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Bước 3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Bước 3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$