Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 2.3.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 2.3.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Bước 4.2.1.2

Nhân $\frac{5}{3}$ với $0$ .

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Bước 4.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

Bước 4.2.2

Không thể giải phương trình vì nó không xác định.

$Không xác định$