Giải tích Ví dụ

$x y d y = (x^{2} + y^{2}) d x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $(x^{2} + y^{2}) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y d y - (x^{2} + y^{2}) d x = 0$

Bước 1.2

Viết lại.

$- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + y^{2})]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (x^{2} + y^{2})$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 2.4

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Bước 3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $- 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- 2 y = y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Bước 5.3

Thay $x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x y$ bằng $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Bước 5.3.2

Trừ $y$ khỏi $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{x}$

Bước 5.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Bước 6.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 6.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 6.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Bước 6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Rút gọn $- 3 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 3$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Bước 6.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Bước 6.6.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- (x^{2} + y^{2})$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $- x^{2} - y^{2}$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.7

Viết lại $- (x^{2} + y^{2})$ ở dạng $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Bước 7.9

Nhân $x y$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Bước 7.10

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Bước 7.10.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Bước 7.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Bước 7.10.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Bước 7.11

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $\frac{1}{x^{2}}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{x^{2}}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Bước 9.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 9.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.3

Nhân $2$ với $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{2}}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.11

Kết hợp $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ và $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.12

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.3.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Cộng $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Bước 13.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Bước 13.1.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- y^{2} + x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.1

Cộng $- y^{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

Bước 13.1.1.3.2

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = 0$

Bước 13.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.4.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} = 0$

Bước 13.1.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.4.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Bước 13.1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Bước 13.1.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Bước 13.1.2

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- \frac{1}{x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 14.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 14.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Bước 14.5

Rút gọn.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln (| x |) + C$