Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$ , $y (0) = 9$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

Bước 1.1.1.2

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y + 3 x \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.1.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y - 3 x = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $3 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 3 x = - 3 x y$

Bước 1.1.2.2

Cộng $3 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Bước 1.1.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Bước 1.1.3.2

Nâng $\frac{d y}{d x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Bước 1.1.3.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y + 3 x$

Bước 1.1.3.4

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ cho $x^{2} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y + 3 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 3 x y + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.1.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2.1.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x (1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2.1.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (- 1 y) + 3 x (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2.2

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.3.4.1

Viết lại $- (y - 1)$ ở dạng $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x) (y - 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y - 1}$ vào tử số.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Bước 1.4.2.2

Đưa $y - 1$ ra ngoài $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Bước 1.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = y - 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = y - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u_{2} = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Kết hợp $\ln (| x^{2} + 1 |)$ và $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Bước 3.1.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3

Để viết $\ln (| y - 1 |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\ln (| y - 1 |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y - 1 |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y - 1 |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.3

Rút gọn $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.4

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Bước 3.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Bước 3.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho ${(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.5

Nhân các số mũ trong ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.6

Rút gọn.

$\ln ((y - 1) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.7

Nhân các số mũ trong ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Bước 3.6.1.7.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.9

Viết lại $- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ ở dạng $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Bước 3.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Bước 3.8

Viết lại $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Bước 3.9.2

Cộng ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.9.3

Chia mỗi số hạng trong $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ cho ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ cho ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.9.3.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.9.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $9$ cho $y$ trong $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

$9 = \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$ .

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C + {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.1.1.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$C + {| 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.1.1.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$C + 1^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.1.1.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C + 1 = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C + 1 = {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.2.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$C + 1 = {| 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$C + 1 = 1^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Bước 6.3.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C + 1 = 1 \cdot 9$

Bước 6.3.2.1.5

Nhân $9$ với $1$ .

$C + 1 = 9$

Bước 6.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 9 - 1$

Bước 6.4.2

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$C = 8$

Bước 7

Thay $8$ cho $C$ trong $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $8$ bằng $C$ .

$y = \frac{8 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$y = \frac{2^{3} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.2

Viết lại ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ ở dạng ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$y = \frac{2^{3} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 2$ và $b = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2^{2} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.4.2

Nhân các số mũ trong ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{1})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.4.3

Rút gọn.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + | x^{2} + 1 |)}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 + | x^{2} + 1 | - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$