Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2.4.2

Nâng $\sqrt{x + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Bước 1.2.4.3

Nâng $\sqrt{x + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Bước 1.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Bước 1.2.4.6

Viết lại ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ ở dạng $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Bước 1.2.4.6.5

Rút gọn.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2.2.3

Viết lại $- y^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Bước 2.3.2.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.2.3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.2.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y, 1, 1$

Bước 3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ với $y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ với $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Bước 3.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = 2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Bước 3.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $K y$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Bước 3.3.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Bước 3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ cho $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ cho $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

Bước 3.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$