Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Bước 1

Giả sử $v = e^{x - t}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x - t}$ .

$\frac{d x}{d t} = v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d t}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{x - t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = x - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d t} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Bước 2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Bước 3

Thay $v$ bằng $e^{x - t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Bước 5

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giải tìm $\frac{d v}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Bước 5.1.2

Nhân cả hai vế với $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Bước 5.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Bước 5.1.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Bước 5.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Rút gọn $(v - 1) v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Bước 5.1.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1.2.1

Nhân $v$ với $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Bước 5.1.3.2.1.2.2

Viết lại $- 1 v$ ở dạng $- v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2} - v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Bước 5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Bước 5.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Bước 6

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Bước 6.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Đưa $v$ ra ngoài $v^{2} - v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1.1

Đưa $v$ ra ngoài $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Bước 6.2.1.1.1.2

Đưa $v$ ra ngoài $- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Bước 6.2.1.1.1.3

Đưa $v$ ra ngoài $v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Bước 6.2.1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $v - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6.1.2

Chia $A (v - 1)$ cho $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6.4

Viết lại $- 1 A$ ở dạng $- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6.5

Triệt tiêu thừa số chung $v - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Bước 6.2.1.1.6.5.2

Chia $B v$ cho $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Bước 6.2.1.1.7

Di chuyển $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Bước 6.2.1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $v$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 6.2.1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $v$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = - 1 A$

Bước 6.2.1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Bước 6.2.1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Giải tìm $A$ trong $1 = - 1 A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Bước 6.2.1.3.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- 1 A = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 A = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Bước 6.2.1.3.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Bước 6.2.1.3.1.2.2.2

Chia $A$ cho $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Bước 6.2.1.3.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Bước 6.2.1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- 1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = A + B$ bằng $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Bước 6.2.1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Bước 6.2.1.3.3

Giải tìm $B$ trong $0 = - 1 + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Bước 6.2.1.3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Bước 6.2.1.3.4

Giải hệ phương trình.

$B = 1 A = - 1$

Bước 6.2.1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = 1, A = - 1$

Bước 6.2.1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Bước 6.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Bước 6.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Bước 6.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Bước 6.2.4

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Bước 6.2.5

Giả sử $u_{2} = v - 1$ . Sau đó $d u_{2} = d v$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Hãy đặt $u_{2} = v - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1.1

Tính đạo hàm $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Bước 6.2.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $v - 1$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.5.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $v$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Bước 6.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Bước 6.2.7

Rút gọn.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Bước 6.2.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Bước 6.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Bước 7

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Bước 7.2

Sắp xếp lại $t$ và $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Bước 7.3

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Bước 7.4

Viết lại $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Bước 7.5

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Bước 7.5.2

Nhân cả hai vế với $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Bước 7.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| v |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Bước 7.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Bước 7.5.4

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Bước 7.5.4.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ cho $e^{C + t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ cho $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Bước 7.5.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{C + t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Bước 7.5.4.2.2.1.2

Chia $| v |$ cho $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Bước 7.5.4.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Bước 8

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Bước 8.2

Viết lại $e^{t + C}$ ở dạng $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Bước 8.3

Sắp xếp lại $e^{t}$ và $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Bước 10

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Bước 10.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Khai triển $\ln (e^{x - t})$ bằng cách di chuyển $x - t$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Bước 10.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Bước 10.2.3

Nhân $x - t$ với $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Bước 10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Bước 10.4

Cộng $t$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Bước 11

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Bước 11.2

Viết lại $e^{t + C}$ ở dạng $e^{t} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Bước 11.3

Sắp xếp lại $e^{t}$ và $e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$