Giải tích Ví dụ

$(x - 2 y) d x + (2 y - 2 x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Bước 1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 2 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.2.2

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2$

Bước 2.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 = - 2$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - 2 y d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = x - 2 y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x d x + \int - 2 y d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 y d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 y x + C$

Bước 5.4

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)] = 2 y - 2 x$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Bước 8.2.2

Vì $\frac{1}{2} x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- 2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y x$ đối với $y$ là $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Bước 8.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - 2 x = 2 y - 2 x$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x + 2 x$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y - 2 x + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $2 y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Bước 10.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 \int y d y$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Bước 10.5.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + y^{2} + C$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - 2 y x + y^{2} + C$