Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 3 x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{3} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $5$ cho $y$ trong $y = x^{3} + K$ .

$5 = 0^{3} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $0^{3} + K = 5$ .

$0^{3} + K = 5$

Bước 4.2

Rút gọn $0^{3} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + K = 5$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 5$

Bước 5

Thay $5$ cho $K$ trong $y = x^{3} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $5$ bằng $K$ .

$y = x^{3} + 5$