Giải tích Ví dụ

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $e^{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y e^{x}$ đối với $y$ là $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $2 e^{x}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 2 x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y + e^{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y + e^{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

Bước 5.3

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Bước 5.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Bước 5.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

Bước 5.6.3

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{x} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.4.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

Bước 9.1.2

Trừ $y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

Bước 9.1.3.2

Cộng $y e^{x} + 2 e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

Bước 9.1.3.3

Trừ $y e^{x}$ khỏi $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

Bước 9.1.3.4

Cộng $2 e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 e^{x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

Bước 10.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

Bước 10.4

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$