Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2} + 2 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Bước 1.3

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Bước 1.5

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Bước 1.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $0$ và $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Bước 1.6.2

Cộng $2 y$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Bước 4.3

Thay $2 y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 y$ bằng $N$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2 y + 0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Bước 4.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Bước 4.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Bước 4.3.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Bước 4.3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Bước 4.3.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y + 0}{y}$

Bước 4.3.3

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{y}{y}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x^{2} + y^{2} + 2 x$ với $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $2 y$ với $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = 2 y e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $2 e^{x}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 e^{x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.3.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{x} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Bước 13.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 13.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 13.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 13.7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 13.8

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 13.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Bước 13.10

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 13.11

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Bước 13.12

Rút gọn.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Bước 15.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Bước 15.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Cộng $- 2 x e^{x}$ và $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Bước 15.2.2

Cộng $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ và $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Bước 15.2.3

Trừ $2 e^{x}$ khỏi $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Bước 15.2.4

Cộng $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Bước 15.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$