Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2} + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

Bước 1.6

Cộng $0$ và $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y + x + e^{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Bước 2.4.2

Vì $e^{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e^{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

Bước 2.4.3

Cộng $2 y + 1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y + 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y + 1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + 1 = 2 y + 1$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.2.2

Vì $\frac{1}{3} x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.4.3

Nhân $x$ với $1$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $0$ và $2 x y$ .

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

Bước 9.1.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

Bước 9.1.3.2

Cộng $x + e^{y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

Bước 9.1.3.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

Bước 9.1.3.4

Cộng $0$ và $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $e^{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Bước 10.3

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$