Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y \cot (2 x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $2 y \cot (2 x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = 2 x$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = 2 x$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = 2 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $2 \cot (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.2.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.2.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\cot (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Bước 2.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Bước 2.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Bước 2.2.5.3

Nhân $\int \cot (u) d u$ với $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\cot (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sin (2 x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) (2 x)$

Bước 3.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Bước 3.2.2

Sắp xếp lại $\sin (2 x)$ và $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

Bước 3.2.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Bước 3.2.4

Viết lại $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ theo sin và cosin.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = 2 x \sin (2 x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = 2 x \sin (2 x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int 2 x \sin (2 x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\sin (2 x) y = \int 2 x \sin (2 x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\sin (2 x) y = 2 \int x \sin (2 x) d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 7.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 7.3.3

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 7.5.2

Nhân $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ với $1$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 7.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Bước 7.7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 7.8

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 7.9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 7.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Bước 7.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Bước 7.11

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Bước 7.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Viết lại $2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ ở dạng $2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 7.12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 7.12.2.2

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 7.12.2.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Bước 7.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Bước 7.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 7.14.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ vào tử số.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 7.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 7.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 7.14.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 (2)} + C$

Bước 7.14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 7.14.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 7.14.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 7.15

Sắp xếp lại các số hạng.

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ cho $\sin (2 x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ cho $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Tách các phân số.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3.1.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ sang $\cot (2 x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3.1.3

Chia $- x$ cho $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3.1.4.2

Chia $\frac{1}{2}$ cho $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3.1.5

Tách các phân số.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Bước 8.3.1.6

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 x)}$ sang $\csc (2 x)$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Bước 8.3.1.7

Chia $C$ cho $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + C \csc (2 x)$