Giải tích Ví dụ

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Bước 1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Bước 1.1.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ cho $f x^{4}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ cho $f x^{4}$ .

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $f$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Bước 1.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Bước 1.1.2.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{f}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{f}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển $x^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

Bước 2.3.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Bước 2.3.4.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

Bước 2.3.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

Bước 2.3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

Bước 2.3.4.5

Cộng $1$ và $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Bước 2.3.6.2

Nhân $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ với $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Bước 2.3.7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Bước 2.3.8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Di chuyển $x^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

Bước 2.3.8.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

Bước 2.3.8.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

Bước 2.3.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1.1

Kết hợp $x^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

Bước 2.3.10.1.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

Bước 2.3.10.2

Viết lại $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ ở dạng $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

Bước 2.3.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$