Giải tích Ví dụ

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $e^{t}$ và $\cos (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Bước 6.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (2 t)$ và $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Bước 6.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Bước 6.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Bước 6.5.2

Sắp xếp lại $e^{t}$ và $\sin (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Bước 6.6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (2 t)$ và $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Bước 6.7

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Bước 6.8

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Bước 6.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Bước 6.8.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Bước 6.9

Khi giải tìm $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Bước 6.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Viết lại $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ ở dạng $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ .

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Bước 6.10.2

Rút gọn.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ cho $e^{t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ cho $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $q$ cho $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3.1.1.2

Chia $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ cho $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3.1.3

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3.1.4

Nhân $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3.1.4.2

Nhân $2$ với $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.3.1.4.3

Kết hợp $\frac{8}{5}$ và $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $1$ cho $q$ trong $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ .

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2.4

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2.6

Nhân $8$ với $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.3

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.4.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Bước 9.2.1.4.2

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Trừ $\frac{4}{5}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Bước 9.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Bước 9.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Bước 9.3.4

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Bước 10

Thay $\frac{1}{5}$ cho $C$ trong $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $\frac{1}{5}$ bằng $C$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Bước 10.2.2

Kết hợp.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Bước 10.2.3

Nhân $1$ với $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$