Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = 3 + y$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 + y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Vì $3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = 1 - 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 2.3.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.3.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 2.3.1.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.2.2

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - 2 x$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\ln (| 1 - 2 x |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.3

Để viết $\ln (| 3 + y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\ln (| 3 + y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| 3 + y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| 3 + y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

Bước 3.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ .

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.5

Nhân các số mũ trong ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.6

Rút gọn.

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Bước 3.8

Viết lại $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Bước 3.9.2

Trừ $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.3

Chia mỗi số hạng trong $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ cho ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ cho ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$