Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Bước 1.1.1.2

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Bước 1.1.2

Cộng $2 x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Bước 1.1.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Bước 1.1.3.2

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x y$

Bước 1.1.3.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ cho $1 + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ cho $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

Bước 3.5.2

Nhân cả hai vế với $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| 1 + x^{2} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Bước 3.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

Bước 3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Bước 4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | 1 + x^{2} |$