Giải tích Ví dụ

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Bước 1

Giả sử $v = e^{x + y}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x + y}$ .

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{x + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Bước 3

Thay $v$ bằng $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Bước 4.2

Cộng $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ và $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Bước 5

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân cả hai vế với $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Bước 5.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Bước 5.1.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Bước 5.1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Nhân $v$ với $v$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1.1

Di chuyển $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Bước 5.1.2.2.1.2

Nhân $v$ với $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $v^{2}$ ra ngoài $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Bước 5.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Bước 6

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Di chuyển $v^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Bước 6.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Bước 6.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Bước 6.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $v^{- 2}$ đối với $v$ là $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Bước 6.2.3

Viết lại $- v^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Bước 6.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 6.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 7

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Bước 7.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$v, 2, 1$

Bước 7.2.2

Vì $v, 2, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 2, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $v^{1}$ .

Bước 7.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 7.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 7.2.5

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 7.2.6

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 7.2.7

BCNN của $1, 2, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2$

Bước 7.2.8

Thừa số cho $v^{1}$ là chính nó $v$ .

$v^{1} = v$

$v$ xảy ra $1$ lần.

Bước 7.2.9

BCNN của $v^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$v$

Bước 7.2.10

BCNN cho $v, 2, 1$ là phần số $2$ nhân với phần biến.

$2 v$

Bước 7.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ với $2 v$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ với $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Bước 7.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{v}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Bước 7.3.2.1.2

Đưa $v$ ra ngoài $2 v$ .

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Bước 7.3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Bước 7.3.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Bước 7.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Bước 7.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Bước 7.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Bước 7.3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Bước 7.3.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Bước 7.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} v + 2 K v = - 2$ .

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Bước 7.4.2

Đưa $v$ ra ngoài $x^{2} v + 2 K v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Đưa $v$ ra ngoài $x^{2} v$ .

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Bước 7.4.2.2

Đưa $v$ ra ngoài $2 K v$ .

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Bước 7.4.2.3

Đưa $v$ ra ngoài $v (x^{2}) + v (2 K)$ .

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Bước 7.4.3

Chia mỗi số hạng trong $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ cho $x^{2} + 2 K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ cho $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Bước 7.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Bước 7.4.3.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Bước 7.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Bước 8

Rút gọn hằng số tích phân.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Bước 10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Bước 10.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Khai triển $\ln (e^{x + y})$ bằng cách di chuyển $x + y$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Bước 10.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Bước 10.2.3

Nhân $x + y$ với $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Bước 10.3

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$