Giải tích Ví dụ

$- (y d) x + x d y = 0$

Bước 1

Cộng $y d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x d y = y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 5.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} | x |$

Bước 5.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{C}$

Bước 5.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm | x | C$

Bước 6.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | x |$