Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\csc (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\csc (y)$ ra ngoài $\cos (x) \csc (y)$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại $\csc (y)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\sin (y)$ đối với $y$ là $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sin (x) + K = - \cos (y)$ .

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

Bước 3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

Bước 3.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

Bước 3.4

Viết lại phương trình ở dạng $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ .

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Bước 3.5

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $\cos (y)$ từ bên trong arcsin.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Bước 3.6

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Bước 3.7

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (y) = \sin (x) + K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (y) = \sin (x) + K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.7.2.2

Chia $\cos (y)$ cho $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.7.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.7.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Bước 3.7.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot K$ ở dạng $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Bước 3.8

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Bước 3.9

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Bước 3.10

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $\cos (y)$ từ bên trong arcsin.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Bước 3.11

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Bước 3.12

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (y) = \sin (x) + K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (y) = \sin (x) + K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.12.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.12.2.2

Chia $\cos (y)$ cho $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.12.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.12.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Bước 3.12.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot K$ ở dạng $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Bước 3.13

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$