Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 12 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 2 t^{2} - 1$ . Sau đó $d u = 4 t d t$ , nên $\frac{1}{4} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 t^{2} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{2} - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{2}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$4 t + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $4 t$ và $0$ .

$4 t$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{4} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{3}{1} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$s + C_{1} = 3 \int u^{3} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ ở dạng $3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$