Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Bước 1

Viết bài toán ở dạng một biểu thức toán học.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Bước 2.3

Viết lại phương trình.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Bước 3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Bước 3.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2.3

Nhân $t^{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Bước 4.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Bước 4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Bước 4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Bước 4.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Bước 4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{3} + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Bước 4.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Bước 4.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Bước 4.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Bước 4.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Bước 4.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Bước 5

Vì $y$ không âm ở điều kiện ban đầu $(2, 0)$ , nên chỉ xem xét $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ để tìm $K$ . Thay $2$ cho $t$ và $0$ cho $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Bước 6.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Bước 6.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ ở dạng ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.3.1

Nhân $2$ với $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.1.3.2

Rút gọn.

$16 + 2 K = 0^{2}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Bước 6.4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 K = - 16$

Bước 6.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 K = - 16$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 K = - 16$ cho $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Bước 6.4.2.2.1.2

Chia $K$ cho $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Bước 6.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Chia $- 16$ cho $2$ .

$K = - 8$

Bước 7

Thay $- 8$ cho $K$ trong $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- 8$ bằng $K$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Bước 7.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Bước 7.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = t$ và $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Bước 7.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$