Giải tích Ví dụ

$(2 x y + x^{2}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + x^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y + x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.4

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x = 2 x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + x^{2} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x y + x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int x^{2} d x$

Bước 5.2

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int x^{2} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{2} d x$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x^{2}$ đối với $y$ là $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.3.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.4

Vì $\frac{1}{3} x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} + y^{2}$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = x^{2} + y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + y^{2} - x^{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + y^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $y^{2}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$