Giải tích Ví dụ

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Bước 1

Trừ $(y + 4) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x d y = - (y + 4) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x (y + 4)}$ vào tử số.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y + 4$ ra ngoài $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u = y + 4$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Bước 4.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 4$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Bước 4.2.1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $4$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Bước 5.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Bước 5.5

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Bước 5.6

Viết lại $\ln (| y x + 4 x |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Bước 5.7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Bước 5.7.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Bước 5.7.3

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Bước 5.7.4

Chia mỗi số hạng trong $y x = \pm e^{C} - 4 x$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y x = \pm e^{C} - 4 x$ cho $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Bước 5.7.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Bước 5.7.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Bước 5.7.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Bước 5.7.4.3.1.2

Chia $- 4$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{x} - 4$