Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + y = 3 e^{2 x}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (3 e^{2 x})$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{x} e^{2 x}$

Bước 2.3

Nhân $e^{x}$ với $e^{2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 (e^{2 x} e^{x})$

Bước 2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{2 x + x}$

Bước 2.3.3

Cộng $2 x$ và $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{3 x}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 3 e^{3 x}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 3 e^{3 x}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x} y = \int 3 e^{3 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} y = 3 \int e^{3 x} d x$

Bước 6.2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 6.2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 6.2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{x} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 6.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{x} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$e^{x} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x} y = 1 \int e^{u} d u$

Bước 6.5.3

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$e^{x} y = \int e^{u} d u$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{x} y = e^{u} + C$

Bước 6.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$e^{x} y = e^{3 x} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = e^{3 x} + C$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = e^{3 x} + C$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{3 x}$ và $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{x} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{x} e^{2 x}}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{x} e^{2 x}}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2.4

Chia $e^{2 x}$ cho $1$ .

$y = e^{2 x} + \frac{C}{e^{x}}$