Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 8 x y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $4 x y$ ra ngoài $4 x^{2} y - 8 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $4 x y$ ra ngoài $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) - 8 x y$

Bước 1.1.2

Đưa $4 x y$ ra ngoài $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) + 4 x y (- 2)$

Bước 1.1.3

Đưa $4 x y$ ra ngoài $4 x y (x) + 4 x y (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x - 2)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (4 x y (x - 2))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y} (x y (x - 2))$

Bước 1.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (x y (x - 2))$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y (x - 2)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x (x - 2))$

Bước 1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x + x \cdot - 2)$

Bước 1.3.5

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} + x \cdot - 2)$

Bước 1.3.6

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} - 2 \cdot x)$

Bước 1.3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 4 (- 2 x)$

Bước 1.3.8

Nhân $- 2$ với $4$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 8 x$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 8 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{3}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$ ở dạng $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$