Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ ở dạng $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $4 \sin^{3} (0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

Bước 4.2.1.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 3$

Bước 4.2.1.1.3

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + K = 3$

Bước 4.2.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 3$

Bước 5

Thay $3$ cho $K$ trong $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3$ bằng $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$