Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{9}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + \frac{1}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = 1 d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = \int d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x = \int d t$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$3 \arctan (x \cdot 3) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$3 \arctan (3 x) = t + K$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \arctan (3 x) = t + K$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \arctan (3 x) = t + K$ cho $3$ .

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Bước 3.1.2.1.2

Chia $\arctan (3 x)$ cho $1$ .

$\arctan (3 x) = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $x$ ra khỏi bên trong arctang.

$3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + K)}{3}$