Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2 x$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 2 x d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $- 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 \int x d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

Bước 6.2

Giả sử $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Bước 6.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 6.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 6.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Bước 6.2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Bước 6.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Bước 6.2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 6.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Bước 6.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Bước 6.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Bước 6.5.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \frac{u_{2}}{2} + C$

Bước 6.5.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{u_{2}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2 u_{2}}{2} + C$

Bước 6.5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2} + C$

Bước 6.5.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 (1)} + C$

Bước 6.5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Bước 6.5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- u_{2}}{1} + C$

Bước 6.5.2.4.2.4

Chia $- u_{2}$ cho $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - u_{2} + C$

Bước 6.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ cho $e^{- x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ cho $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$