Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot x - 3 \cdot y + 1$

Bước 1

Cộng $3 \cdot y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + 3 \cdot y = 2 \cdot x + 1$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 3 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{3 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{3 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 \cdot y) = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1$

Bước 3.3.2

Nhân $e^{3 x}$ với $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.6

Giả sử $u_{1} = 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 7.6.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 7.6.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 7.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.7

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.8

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.9.2

Nhân $3$ với $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.10

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{3 x} d x$

Bước 7.11

Giả sử $u_{2} = 3 x$ . Sau đó $d u_{2} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 7.11.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 7.11.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 7.11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 7.12

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Bước 7.13

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7.14

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 7.15

Rút gọn.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $e^{3 x}$ và $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

Bước 8.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ cho $e^{3 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ cho $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{3} (x e^{3 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.1.2

Kết hợp $\frac{x}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x e^{3 x}}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.4

Nhân $2 (- \frac{e^{3 x}}{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} - 2 \frac{e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.2.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.3

Để viết $\frac{e^{3 x}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.4.1

Nhân $\frac{e^{3 x}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.4.2

Nhân $3$ với $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.6

Cộng $- 2 e^{3 x}$ và $e^{3 x} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.1

Sắp xếp lại $e^{3 x}$ và $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + 3 \cdot e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.6.2

Cộng $- 2 e^{3 x}$ và $3 \cdot e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.1

Để viết $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.2.1

Nhân $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.4.1

Đưa $e^{3 x}$ ra ngoài $2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.4.1.1

Đưa $e^{3 x}$ ra ngoài $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.4.1.2

Nhân với $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.4.1.3

Đưa $e^{3 x}$ ra ngoài $e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3 + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.5

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.6

Kết hợp $C$ và $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1) + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.8.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.8.3

Nhân $e^{3 x}$ với $1$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.7.8.4

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.9

Nhân $\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}$ với $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Bước 8.2.3.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$