Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $x^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Bước 2.3.5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Bước 2.3.6

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.3.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2

Rút gọn $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Bước 4.2.1.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Bước 4.2.1.5

Nhân $4$ với $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Bước 4.2.2

Cộng $- \frac{3}{4}$ và $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{3}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Bước 4.3.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $3$ với $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $12$ và $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Bước 5

Thay $\frac{15}{4}$ cho $C$ trong $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{15}{4}$ bằng $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $4 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Bước 5.2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{4}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$