Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 8 \int t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 3 t^{2} - 5$ . Sau đó $d u = 6 t d t$ , nên $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 3 t^{2} - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $3 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 5]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{2} - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{2}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$6 t + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $6 t$ và $0$ .

$6 t$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$s + C_{1} = 8 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{6} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $\frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ ở dạng $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{12} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 (1)}{12} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{1}{3} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + K$