Giải tích Ví dụ

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 2 x e^{- y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Bước 1.2.2

Vì $e^{x}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $e^{x}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x e^{- y}$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 1.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Bước 1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Bước 1.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Bước 1.3.7

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Bước 1.3.8

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Trừ $2 x e^{- y}$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + e^{- y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $e^{- y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e^{- y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2 x e^{- y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $e^{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $e^{x}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $- 2 x e^{- y}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Bước 4.3

Thay $e^{x} + 2 x e^{- y}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $e^{x} + 2 x e^{- y}$ bằng $M$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Bước 4.3.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Bước 4.3.3

Thay $e^{x} + 2 x e^{- y}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $e^{x} + 2 x e^{- y}$ với $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $e^{- y}$ với $e^{y}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Di chuyển $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.4.3

Trừ $y$ khỏi $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.5

Rút gọn $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $e^{x} + e^{- y}$ với $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Bước 6.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Bước 6.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Bước 6.9

Nhân $e^{- y}$ với $e^{y}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Bước 6.9.2

Cộng $- y$ và $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Bước 6.10

Rút gọn $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Bước 8.2

Giả sử $u = x + y$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Hãy đặt $u = x + y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Tính đạo hàm $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Bước 8.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 8.2.1.3

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 8.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 8.2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 8.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Bước 8.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Bước 8.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Bước 8.5

Rút gọn.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Bước 8.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x + y} + y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.4

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.3.6

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.4

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Cộng $e^{x + y}$ và $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Bước 11.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $e^{x + y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $e^{x + y}$ khỏi $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $2 x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Bước 13.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x d x$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 13.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Bước 13.5.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$