Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Bước 2

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tách phân số $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Bước 2.1.2

Trừ $\frac{x y}{x^{17}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Bước 2.2

Viết lại phương trình với các hệ số đã tách riêng.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 2.3

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 3

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Bước 3.2

Lấy tích phân $- \frac{x}{x^{17}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{17}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Bước 3.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Bước 3.2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Bước 3.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Bước 3.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Bước 3.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Bước 3.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Di chuyển $x^{16}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Bước 3.2.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{16})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Bước 3.2.3.2.2

Nhân $16$ với $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Bước 3.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 16}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Bước 3.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1.1

Kết hợp $x^{- 15}$ và $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Bước 3.2.5.1.2

Di chuyển $x^{- 15}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Bước 3.2.5.2

Rút gọn.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Bước 3.2.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Bước 3.2.5.3.2

Nhân $\frac{1}{15 x^{15}}$ với $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Bước 3.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Bước 4

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{17}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x^{16}}$ và $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{y}{x^{16}}$ và $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{17}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Bước 4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Bước 4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{16 f}{x^{16}}$ và $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Bước 5

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Bước 6

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Bước 8

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Bước 8.2

Vì $16 f$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16 f$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Bước 8.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Bước 8.4

Giả sử $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , nên $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Bước 8.4.1.2

Vì $\frac{1}{15}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{15 x^{15}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Bước 8.4.1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{15}}$ ở dạng ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Bước 8.4.1.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{15})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Bước 8.4.1.3.2.2

Nhân $15$ với $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Bước 8.4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Bước 8.4.1.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.5.1

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Bước 8.4.1.5.2

Kết hợp $\frac{- 15}{15}$ và $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Bước 8.4.1.5.3

Di chuyển $x^{- 16}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Bước 8.4.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.5.4.1

Đưa $15$ ra ngoài $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Bước 8.4.1.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.5.4.2.1

Đưa $15$ ra ngoài $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Bước 8.4.1.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Bước 8.4.1.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Bước 8.4.1.5.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Bước 8.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Bước 8.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Bước 8.6

Nhân $- 1$ với $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Bước 8.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Bước 8.8

Rút gọn.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Bước 8.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Bước 9

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ cho $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ cho $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Bước 9.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Bước 9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Bước 9.3.1.2

Chia $16 f$ cho $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$