Giải tích Ví dụ

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} + 2 t$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Bước 2.4

Vì $2 t$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 t$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Bước 2.5

Cộng $3 y^{2}$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Bước 3.2

Vì $3 y^{2} t$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y^{2} t$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $3 y^{2}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 0$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$3 y^{2} = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3 y^{2}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Bước 5.3

Thay $3 y^{2} t$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $3 y^{2} t$ bằng $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $3 y^{2} + 0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Bước 5.3.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Bước 5.3.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Bước 5.3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Bước 5.3.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Bước 5.3.3

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{t}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{t}$ và $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{\frac{x}{t}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y^{3} + 2 t$ với $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $3 y^{2} t$ với $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $3 t e^{\frac{x}{t}}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3 t e^{\frac{x}{t}}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Bước 9.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ ở dạng $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 9.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Bước 9.3.2.2

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Bước 9.3.2.3

Kết hợp $\frac{3 t}{3}$ và $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Bước 9.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Bước 9.3.2.4.2

Chia $t e^{\frac{x}{t}}$ cho $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $t y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ đối với $x$ là $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x}{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.3

Vì $\frac{1}{t}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{t}$ đối với $x$ là $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.5

Nhân $\frac{1}{t}$ với $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.6

Kết hợp $e^{\frac{x}{t}}$ và $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.7

Kết hợp $t$ và $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.8

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.3.9.2

Chia $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ cho $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 12.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Trừ $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ khỏi $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Bước 13.1.2.2

Cộng $2 t e^{\frac{x}{t}}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $2 t e^{\frac{x}{t}}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Bước 14.3

Vì $2 t$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 t$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Bước 14.4

Giả sử $u = \frac{x}{t}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{t} d x$ , nên $t d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{t}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Bước 14.4.1.2

Vì $\frac{1}{t}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{t}$ đối với $x$ là $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Bước 14.4.1.4

Nhân $\frac{1}{t}$ với $1$ .

$\frac{1}{t}$

Bước 14.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Bước 14.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Bước 14.5.2

Nhân $t$ với $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Bước 14.6

Vì $t$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $t$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Bước 14.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Bước 14.7.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Bước 14.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Bước 14.7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Bước 14.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Bước 14.9

Rút gọn.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Bước 14.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$