Giải tích Ví dụ

$2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ cho $2 y \sqrt{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ cho $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.2.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.2

Nhân $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.3.1

Nhân $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.2

Di chuyển $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.4

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.7

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.3.7.5

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.5

Nhân $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.6.1

Nhân $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Bước 1.1.3.1.6.2

Di chuyển $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Bước 1.1.3.1.6.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Bước 1.1.3.1.6.4

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Bước 1.1.3.1.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Bước 1.1.3.1.6.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 1.1.3.1.6.7

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.6.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.1.3.1.6.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.1.3.1.6.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.3.1.6.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.6.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.3.1.6.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{1}}$

Bước 1.1.3.1.6.7.5

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để viết $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

Bước 1.2.2

Để viết $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2 x y$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 1.2.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{y x \cdot 2}$

Bước 1.2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $y x \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Bước 1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $y \sqrt{x} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Bước 1.2.5.1.2

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $\sqrt{x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)}{2 x y}$

Bước 1.2.5.1.3

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y + 2)}{2 x y}$

Bước 1.2.5.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

Bước 1.3

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y}$

Bước 1.4

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{y^{2} + 2}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} (\frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{x}}{2 x}$ với $\frac{y^{2} + 2}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

Bước 1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $y^{2} + 2$ ra ngoài $\sqrt{x} (y^{2} + 2)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

Bước 1.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

Bước 1.5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Bước 1.6

Viết lại phương trình.

$\frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y^{2} + 2$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y^{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$2 y + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $2 y$ và $0$ .

$2 y$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.3.2.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.3

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = x^{\frac{1}{2}} + C$