Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Bước 1.2

Vì $\frac{1}{x^{2}}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2} y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Bước 1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Bước 1.6

Vì $- x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x^{2} y$ đối với $y$ là $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 1.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.7.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Bước 1.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Bước 2.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 1 = - 1$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = y - x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Bước 5.4

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.2.2

Vì $\frac{1}{2} y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Trừ $y$ khỏi $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết lại.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 9.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Bước 9.1.1.3

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Bước 9.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Tách phân số $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ thành hai phân số.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Bước 9.1.2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Bước 9.1.2.2.2.1.2

Chia $- 1 y$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Bước 9.1.2.2.2.2

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Bước 9.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.3.1

Cộng $- y$ và $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Bước 9.1.2.3.2

Cộng $\frac{1}{x^{2}}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $\frac{1}{x^{2}}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 10.3

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 10.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 10.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Bước 10.6

Viết lại $- x^{- 1} + C$ ở dạng $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$